7. La paràbola

La parábola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten d’una recta r, anomenada directriu i un punt F, que és el focus de la paràbola.

Si situem el focus en el punt de coordenades F(c/2,0) y la directriu és la recta x=-c/2, c>0, de manera que c és la distancia entre el focus i la directriu, com es pot vore en la figura:

Llavors, hem de trobar l’equació que compleixen els punts X(x,y) tals que d(F,X)=d(X,r).

Utilitzant les fórmules de les distàncies corresponents s’obté:

Si elevem al quadrat i simplifiquem, obtenim l'equació reduïda de la parábola (vèrtex en (0,0), eix horitzontal i directriu vertical).

y² = 2cx

Segons la posició del focus i la directriu, s'obtenen altres equacions de la parábola.

                   y²=-2cx                                   x²=2cy                                 x²=-2cy

Les equacions ordinàries de la parábola són:

(y – v)² = ± 2 c (x - u)           (parábola horitzontal)

(x – u)² = ± 2 c (y - v)                 (parábola vertical)

- c és la distancia entre el focus F i la directriu.

- Els valors u i v són les coordenades del vèrtex V(u,v)

- Si s’obri cap el semieix positiu (OX o OY), usarem el +2c

- Si s’obri cap el semieix negatiu (OX o OY), usarem el -2c

En el següent enllaç si mous el punt P, es veu com la distància al focus i a la directriu és sempre la mateixa: Paràbola 

6. La hipèrbola

Una hipèrbola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la diferència (en valor absolut) de les seues distàncies a dos punts fixes F₁ i F₂, és constant. Aquests punts fixes també es diuen focus.

En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F₁ (c,0) i F₂ (-c,0), com es mostra en la figura:

Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

|d(F₁,X) - d(F₂,X)| = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

 Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:

 Si anomenem b² = c² - a², s’aplega a l’expressió

On c² = a² + b². Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de la hipèrbola.

A més dels focus F₁ i F₂, i del centre, ja vistos, els elements de la hipèrbola són:

- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs (només hi ha dos) als punts de tall de la hipèrbola amb els eixos coordenats: A₁ i A₂.

- La distància entre els vèrtex A₁ i A₂ és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a).

S’anomena exentricitat de la hipèrbola a la relació entre c i a:

Com ara 0 < a < c, l’exentricitat sempre será un nombre major que 1. Quant la excentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será la hipèrbola.

En el següent enllaç pots dibuixar una hipérbola, menetjan els focus i el vèrtex:  Hipèrbola

Fixa't com la resta de distàncies és constant!

5. L'el.lipse

Una el.lipse és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la suma de les seues distàncies a dos punts fixes F₁ i F₂, és constant. Aquests punts fixes es diuen focus de l’el.lipse.

En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F₁ (c,0) i F₂ (-c,0), com es mostra en la figura:

Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

d(F₁,X) + d(F₂,X) = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:

Si anomenem b² = a² - c², s’aplega a l’expressió:

On a² = b² + c². Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de l’el.lipse.

A més dels focus F₁ i F₂, i del centre, ja vistos, els elements de l’el.lipse són:

- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs als punts de tall de l'el·lipse amb els eixos coordenats: A₁, A₂, B₁ i B₂

- La distància entre els vèrtex A₁ i A₂ és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a). La distància entre els vèrtex B₁ i B₂ és 2b, s’anomena eix menor (semieix menor = b).

S’anomena exentricitat de l’el.lipse a la relació entre c i a:

Com 0 < c < a, l’exentricitat sempre serà un nombre comprès entre 0 i 1. Quant la exentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será l’el.lipse.

En el següent enllaç pots dibuixar l’el.lipse, i modificar l’ubicació dels seus elements:  El.lipse  

Fixa't com la suma de distàncies és constant!

4. La circumferència

La circumferència és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten una distancia r (radi de la circumferència), d'un punt fix O(a,b), que és el centre de la circumferència.

Si X(x,y) és un punt qualsevol de la circumferència, es complix que la distància d(X,O) = r, on O(a,b) és el centre, llavors si apliquem la fórmula de la distancia entre dos punts tindrem la següent expressió:

Elevant al quadrat es simplifica i obtenim l’equació de la circumferència: 

( x – a )² + ( y – b )² = r²

Quand el centre és l’origen de coordenades O(0,0), s’obté l’equació reduïda: 

x² + y² = r²

Desenvolupant els quadrats i passant tots els termes al membre esquerre de l'equació, s'obté:

    [1]                         x² + y² - (2a)x – (2b)y + (a² + b² - r²)= 0

Per exemple, l’equació de la circumferència de centre O(-1,2) i radi 1 es:

( x + 1 )² + ( y – 2 )² = 1²

x² + y² + 2x - 4y + 4 = 0

Si tenim l’equació es pot calcular el centre i el radi. Per exemple, siga l’equació d’una circumferència:

x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0,   segons la fórmula de dalt [1]

2a = 4 ; a = 2

- 2b = 6 ; b = -3

En resum, el centre és O(2,-3) i el radi r = 2

3. La bisectriu

La bisectriu és un lloc geomètric. Divideix l’angle en dos parts iguals i compleix la propietat que tots els seus punts estan a la mateixa distància de les rectes que formen l’angle, és a dir, d(X,r) = d(X,s)

Però, en realitat, les dos rectes formen quatre angles, i casdascun d’ells té una bisectriu. Tots els punts de les dos bisectrius complixen la propietat d’equidistància a les rectes r i s. Per això, quan plantegem el problema hi hauran dos solucions.

La distància d’un punt P(x₀,y₀) a una recta r : Ax + By + C = 0 s’obté amb la fórmula:

Com hem dit, la distància d’un punt P(x,y) y dos rectes r:  A₁x + B₁y + C₁ = 0     i    s : A₂x + B₂y + C₂ = 0 

d(X,r) = d(X,s)

En resoldre el problema, els valors absoluts dels termes donaran dos expressions que serán les dos equacions de les bisectrius.

Per exemple, siguen el punt X  i les rectes r i s.

X (x,y);     r: 4x – 3y + 2= 0    i    s: 6x + 8y – 5 = 0

Igualem les distàncies:

d(X,r) = d(X,s)

Les separem i fem les operacions:

Per tant, les equacions  de les bisectrius són:

2x – 14y + 9 = 0     i     14x +2y – 1= 0

Exercici: Calcular les equacions de las bisectrius dels angles dels eixos de coordenades, l’eix X i l’eix Y.

2. La mediatriu

La mediatriu d’un segment és un lloc geomètric. Tots els punts de la mediatriu equidisten dels extrems A i B. No hi ha altre punt del pla, fora de la mediatriu que estiga a la mateixa distancia de A que de B, és a dir, d (A,X) = d (B,X). I açò ens proporciona un procediment per a calcular l'equació de la mediatriu.

L’equació de la distancia entre dos punts A(a1,a2) i B(b1,b2) és:

Per exemple , si volem calcular la mediatriu del segment AB, on A(2,3) i B(-1,5). Segons acabem de vore, com la distancia al punt  X(x,y) és la mateixa, és complix:

d (A,X) = d (B,X)

Aplicant la fórmula de la distància i substituint les coordenades dels punts X, A i B, obtenim l'expressió:

Elevem al quadrat en els dos membres de l'expressió, perquè desapareguen les arrels quadrades, i desenvolupem els quadrats que hi ha dins:

x² – 4x + 4 + y² - 6y + 9 = x²+ 2x + 1+ y² - 10y + 25

Passem tots els termes a la dreta de l'equació i ens queda:

0 = 6x – 4y + 13

Que és la equació de la mediatriu del segment AB

Exercici: Prova ara amb els punts A(3,0) y B(1,4). Sol: x - 2y + 4=0

1. Lloc Geomètric

És el conjunt  de punts del pla o del espai que complixen una determinada propietat  o condició geomètrica.

Per exemple, el lloc geomètric de tots el punts d’un pla, equidistants d’una recta l (del mateix pla), són dues rectes paral.leles a l. El mateix cas, en el espai, determinen un cilindre que tenen com a eix a la recta l. Això es pot vore en la següent figura.

A través d’aquesta propietat, emprant l’àlgebra, es pot trobar la seua equació. Normalment es relacionen els elements geomètrics amb les condicions  de perpendicularitat,  paral.lisme, o equidistància…

Per altra banda, en geometría analítica, lloc geomètric, significa determinar la corba, el cos o la superfície que genera una equació dada. A partir de  l’equació, donant valors, podem representar els punts dibuixant-los en una gràfica i, analitzant els resultats, obtenir la figura o el lloc geomètric determinat. Per exemple, realitzant una taula amb els valors de les funcions y = 3x + 8  i   y = x² – 1 poden vore que es tracta d’una recta i d’una parábola respectivament.

Les corbes còniques es poden prendre com a casos particulars de llocs geomètrics de punts que compleixen certes propietats. Però abans, anem a vore els casos de la mediatriu i la bisectriu.