7. La paràbola

La parábola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten d’una recta r, anomenada directriu i un punt F, que és el focus de la paràbola.

Si situem el focus en el punt de coordenades F(c/2,0) y la directriu és la recta x=-c/2, c>0, de manera que c és la distancia entre el focus i la directriu, com es pot vore en la figura:

Llavors, hem de trobar l’equació que compleixen els punts X(x,y) tals que d(F,X)=d(X,r).

Utilitzant les fórmules de les distàncies corresponents s’obté:

Si elevem al quadrat i simplifiquem, obtenim l'equació reduïda de la parábola (vèrtex en (0,0), eix horitzontal i directriu vertical).

y² = 2cx

Segons la posició del focus i la directriu, s'obtenen altres equacions de la parábola.

                   y²=-2cx                                   x²=2cy                                 x²=-2cy

Les equacions ordinàries de la parábola són:

(y – v)² = ± 2 c (x - u)           (parábola horitzontal)

(x – u)² = ± 2 c (y - v)                 (parábola vertical)

- c és la distancia entre el focus F i la directriu.

- Els valors u i v són les coordenades del vèrtex V(u,v)

- Si s’obri cap el semieix positiu (OX o OY), usarem el +2c

- Si s’obri cap el semieix negatiu (OX o OY), usarem el -2c

En el següent enllaç si mous el punt P, es veu com la distància al focus i a la directriu és sempre la mateixa: Paràbola