4. La circumferència

La circumferència és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten una distancia r (radi de la circumferència), d'un punt fix O(a,b), que és el centre de la circumferència.

Si X(x,y) és un punt qualsevol de la circumferència, es complix que la distància d(X,O) = r, on O(a,b) és el centre, llavors si apliquem la fórmula de la distancia entre dos punts tindrem la següent expressió:

Elevant al quadrat es simplifica i obtenim l’equació de la circumferència: 

( x – a )² + ( y – b )² = r²

Quand el centre és l’origen de coordenades O(0,0), s’obté l’equació reduïda: 

x² + y² = r²

Desenvolupant els quadrats i passant tots els termes al membre esquerre de l'equació, s'obté:

    [1]                         x² + y² - (2a)x – (2b)y + (a² + b² - r²)= 0

Per exemple, l’equació de la circumferència de centre O(-1,2) i radi 1 es:

( x + 1 )² + ( y – 2 )² = 1²

x² + y² + 2x - 4y + 4 = 0

Si tenim l’equació es pot calcular el centre i el radi. Per exemple, siga l’equació d’una circumferència:

x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0,   segons la fórmula de dalt [1]

2a = 4 ; a = 2

- 2b = 6 ; b = -3

En resum, el centre és O(2,-3) i el radi r = 2