3. La bisectriu

La bisectriu és un lloc geomètric. Divideix l’angle en dos parts iguals i compleix la propietat que tots els seus punts estan a la mateixa distància de les rectes que formen l’angle, és a dir, d(X,r) = d(X,s)

Però, en realitat, les dos rectes formen quatre angles, i casdascun d’ells té una bisectriu. Tots els punts de les dos bisectrius complixen la propietat d’equidistància a les rectes r i s. Per això, quan plantegem el problema hi hauran dos solucions.

La distància d’un punt P(x₀,y₀) a una recta r : Ax + By + C = 0 s’obté amb la fórmula:

Com hem dit, la distància d’un punt P(x,y) y dos rectes r:  A₁x + B₁y + C₁ = 0     i    s : A₂x + B₂y + C₂ = 0 

d(X,r) = d(X,s)

En resoldre el problema, els valors absoluts dels termes donaran dos expressions que serán les dos equacions de les bisectrius.

Per exemple, siguen el punt X  i les rectes r i s.

X (x,y);     r: 4x – 3y + 2= 0    i    s: 6x + 8y – 5 = 0

Igualem les distàncies:

d(X,r) = d(X,s)

Les separem i fem les operacions:

Per tant, les equacions  de les bisectrius són:

2x – 14y + 9 = 0     i     14x +2y – 1= 0

Exercici: Calcular les equacions de las bisectrius dels angles dels eixos de coordenades, l’eix X i l’eix Y.