5. L'el.lipse

Una el.lipse és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la suma de les seues distàncies a dos punts fixes F₁ i F₂, és constant. Aquests punts fixes es diuen focus de l’el.lipse.

En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F₁ (c,0) i F₂ (-c,0), com es mostra en la figura:

Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

d(F₁,X) + d(F₂,X) = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:

Si anomenem b² = a² - c², s’aplega a l’expressió:

On a² = b² + c². Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de l’el.lipse.

A més dels focus F₁ i F₂, i del centre, ja vistos, els elements de l’el.lipse són:

- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs als punts de tall de l'el·lipse amb els eixos coordenats: A₁, A₂, B₁ i B₂

- La distància entre els vèrtex A₁ i A₂ és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a). La distància entre els vèrtex B₁ i B₂ és 2b, s’anomena eix menor (semieix menor = b).

S’anomena exentricitat de l’el.lipse a la relació entre c i a:

Com 0 < c < a, l’exentricitat sempre serà un nombre comprès entre 0 i 1. Quant la exentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será l’el.lipse.

En el següent enllaç pots dibuixar l’el.lipse, i modificar l’ubicació dels seus elements:  El.lipse  

Fixa't com la suma de distàncies és constant!