dimecres, 16 de març del 2016

6. La hipèrbola

Una hipèrbola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la diferència (en valor absolut) de les seues distàncies a dos punts fixes F1 i F2, és constant. Aquests punts fixes també es diuen focus.


En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F1 (c,0) i F2 (-c,0), com es mostra en la figura:


Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

|d(F1,X) - d(F2,X)| = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

 Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:
 Si anomenem b2 = c2 - a2, s’aplega a l’expressió
On c2 = a2 + b2. Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de la hipèrbola.


A més dels focus F1 i F2, i del centre, ja vistos, els elements de la hipèrbola són:


- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs (només hi ha dos) als punts de tall de la hipèrbola amb els eixos coordenats: A1 i A2.

- La distància entre els vèrtex A1 i A2 és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a).

S’anomena exentricitat de la hipèrbola a la relació entre c i a:
Com ara 0 < a < c, l’exentricitat sempre será un nombre major que 1. Quant la excentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será la hipèrbola.

En el següent enllaç pots dibuixar una hipérbola, menetjan els focus i el vèrtex:  Hipèrbola

Fixa't com la resta de distàncies és constant!

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada