Ciutat de les Arts i les Ciències

El pròxim dia 24 d'abril se celebrarà la FIRA EXPERIMENTA. Està organitzada per la Facultat de Física de la Universitat de València en les instal·lacions de la Ciutat de les Arts i les Ciències. La seua intenció és promoure la vocació científica i tecnològica entre els joves, a través de l'observació dels fenòmens naturals i l'experimentació.
Per a més informació: Página oficial

Aprofite aquesta entrada per a descriure alguns dels edificis singulars d'aquesta “ciutat” moderna i futurista. Les seues formes estan  relacionades amb les còniques.

Hemisfèric

Inaugurat en 1998, l'Hemisfèric fou el primer edifici de la Ciutat de les Arts i les Ciències que va obrir les seues portes al públic. És un edifici espectacular dissenyat per Santiago Calatrava, que compta amb una coberta ovoide de més de 100 metres de longitud, que alberga en el seu interior la gran esfera que constituïx la sala de projeccions.

Museu de les Ciències Príncep Felipe

El seu disseny està basat en la repetició asimètrica de l'estructura amb forma de costelles. Aquestes costelles metàl·liques blanques estan unides mitjançant elements horitzontals longitudinals que emboliquen la façana acristalada. Com sol repetir Calatrava en els seus dissenys, l'estructura és l'element protagonista i queda sempre a la vista.

Palau de les Arts Reina Sofia

La forma global de l'edifici és lenticular. La coberta o “ploma” és l'element estructuralment més espectacular amb 230 m de longitud i més de 70 m d'altura, mentre les dues “corfes”, que abracen l'edifici exteriorment, estan construïdes en acer laminat revestides per l'exterior amb recobriment ceràmic o trencadís.

Umbracle

La seua estructura s'assembla a una gelosia, amb successió de 55 arcs fixos i 54 flotants, metàl·lics. L'altura màxima, des del peu dels arcs fixos, fins a la clau dels flotants, és de 18 metres.

Oceanográfic

L'edifici més emblemàtic està constituït per paraboloides hiperbòlics construïts en formigó, i la seua forma simula un nenúfar, obra de l'arquitecte Félix Candela. Aquesta coberta embolica murs vidriats que són el tancament del volum.

Àgora

L’Àgora és una estructura metàl·lica de planta semblant a una el·lipse apuntada, d’uns 88 metres de llarg per 66 d’ample. L’àrea coberta ocupa vora 4.811 m2.

Algunes propietats i aplicacions de les còniques.

Les còniques es troben en el nostre entorn. Per açò, s'exposen a continuació algunes de les seues propietats i aplicacions. 

Les imatges han sigut tretes del Banc d'imatges i so de l'INTEF, baix llicència Creative Commons.

El.lipses:

- Kepler va descobrir que les òrbites dels planetes al voltant del sol eren el.líptiques. La trajectòria d'un objecte mòbil que descriu una òrbita tancada sota la influència d'una força central inversament proporcional al quadrat de la distancia té la forma de el.lipse.

- En una sala amb sostre elipsoidal (de revolució), si s'emet un so des d'un dels focus, aquest so se sentirà amb tota nitidesa en l'altre focus, ja que les ones sonores parteixen del primer focus, reboten en les parets i es reflecteixen en el segon focus.

- En òptica i per a la propagació d'ones s'utilitzen lents el·líptiques.

- El lloc geomètric dels punts en l'extrem de la porta d'un garatge muntada en unes corrioles sobre un eix vertical correspon a un quadrant d'una el·lipse.

- Es troben en construccions antigues com els amfiteatres romans i en alguns arcs de ponts. 

Paràboles:

- Si un feix de rajos paral·lels a l'eix reboten en la part interior de la superfície parabòlica es reflecteixen tots en un mateix punt: en el focus. Per açò, les antenes via satèl·lit tenen la forma de paràbola.

- En els fars dels cotxes es col·loca la bombeta en el focus de la paràbola, de manera que els rajos, en reflectir-se en el llum, ixen formant rajos paral·lels en una mateixa direcció.

-  Els cables dels ponts penjants o de les torres elèctriques (catenàries) tenen forma parabòlica.

- Les trajectòries dels projectils i els dolls d'aigua que ixen d'un sortidor tenen forma parabòlica.

Hipèrboles:

- Es pot determinar la posició d'un vaixell o avió, a partir de la diferència de recepció dels senyals de ràdio procedents de dos emissors sincronitzats distants entre si.

- En les grans ximeneres (torres de refrigeració) de les centrals tèrmiques.

- És la trajectòria d'una càrrega elèctrica descriu quan es mou cap a una altra càrrega del mateix signe.

Exercicis

“Mestre a casa” és el portal oficial de la Comunitat Valenciana on es pot trobar nombrosos recursos per a millorar el vostre aprenentatge.

En el següent enllaç trobareu els exercicis sobre còniques: Problemes  

El títol de l'activitat és “Equacions de les còniques. Translació i gir d’eixos. Unitats – Activitats”. El seu autor és Alfredo Pena Iglesias.

Per poder realitzar els exercicis heu d’instal.lar el Plug-in  “DescartesWeb 2.0” en el vostre ordinador del següent enllaç: Descartes

Una vegada instal.lat, heu de llegir atentament les instruccions i després fer els 8 problemes plantejats.

En cadascun dels problemes, a més de comprovar la solució, haureu  d’iniciar l’animació per a entendre millor les definicions de les còniques com a lloc geométric.

7. La paràbola

La parábola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten d’una recta r, anomenada directriu i un punt F, que és el focus de la paràbola.

Si situem el focus en el punt de coordenades F(c/2,0) y la directriu és la recta x=-c/2, c>0, de manera que c és la distancia entre el focus i la directriu, com es pot vore en la figura:

Llavors, hem de trobar l’equació que compleixen els punts X(x,y) tals que d(F,X)=d(X,r).

Utilitzant les fórmules de les distàncies corresponents s’obté:

Si elevem al quadrat i simplifiquem, obtenim l'equació reduïda de la parábola (vèrtex en (0,0), eix horitzontal i directriu vertical).

y² = 2cx

Segons la posició del focus i la directriu, s'obtenen altres equacions de la parábola.

                   y²=-2cx                                   x²=2cy                                 x²=-2cy

Les equacions ordinàries de la parábola són:

(y – v)² = ± 2 c (x - u)           (parábola horitzontal)

(x – u)² = ± 2 c (y - v)                 (parábola vertical)

- c és la distancia entre el focus F i la directriu.

- Els valors u i v són les coordenades del vèrtex V(u,v)

- Si s’obri cap el semieix positiu (OX o OY), usarem el +2c

- Si s’obri cap el semieix negatiu (OX o OY), usarem el -2c

En el següent enllaç si mous el punt P, es veu com la distància al focus i a la directriu és sempre la mateixa: Paràbola 

6. La hipèrbola

Una hipèrbola és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la diferència (en valor absolut) de les seues distàncies a dos punts fixes F₁ i F₂, és constant. Aquests punts fixes també es diuen focus.

En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F₁ (c,0) i F₂ (-c,0), com es mostra en la figura:

Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

|d(F₁,X) - d(F₂,X)| = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

 Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:

 Si anomenem b² = c² - a², s’aplega a l’expressió

On c² = a² + b². Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de la hipèrbola.

A més dels focus F₁ i F₂, i del centre, ja vistos, els elements de la hipèrbola són:

- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs (només hi ha dos) als punts de tall de la hipèrbola amb els eixos coordenats: A₁ i A₂.

- La distància entre els vèrtex A₁ i A₂ és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a).

S’anomena exentricitat de la hipèrbola a la relació entre c i a:

Com ara 0 < a < c, l’exentricitat sempre será un nombre major que 1. Quant la excentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será la hipèrbola.

En el següent enllaç pots dibuixar una hipérbola, menetjan els focus i el vèrtex:  Hipèrbola

Fixa't com la resta de distàncies és constant!

5. L'el.lipse

Una el.lipse és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla, tals que la suma de les seues distàncies a dos punts fixes F₁ i F₂, és constant. Aquests punts fixes es diuen focus de l’el.lipse.

En primer lloc, situem els dos focus sobre l’eix X, F₁ (c,0) i F₂ (-c,0), com es mostra en la figura:

Volem trobar els punts X(x,y) tals que:

d(F₁,X) + d(F₂,X) = constant

Per simplificar els càlculs, elegim la constant 2a. Llavors, aplicant la fórmula de la distància:

Eliminant les arrels elevant dues vegades al quadrat, s’arriba a l’espressió:

Si anomenem b² = a² - c², s’aplega a l’expressió:

On a² = b² + c². Aquesta expressió, centrada en l’origen de coordenades, es diu l’equació reduïda de l’el.lipse.

A més dels focus F₁ i F₂, i del centre, ja vistos, els elements de l’el.lipse són:

- La distància entre els focus, que és 2c, s’anomena distància focal.

- Es diuen vèrtexs als punts de tall de l'el·lipse amb els eixos coordenats: A₁, A₂, B₁ i B₂

- La distància entre els vèrtex A₁ i A₂ és 2a, s’anomena eix major (semieix major = a). La distància entre els vèrtex B₁ i B₂ és 2b, s’anomena eix menor (semieix menor = b).

S’anomena exentricitat de l’el.lipse a la relació entre c i a:

Com 0 < c < a, l’exentricitat sempre serà un nombre comprès entre 0 i 1. Quant la exentricitat e més s’aproxime a 1 més estirada será l’el.lipse.

En el següent enllaç pots dibuixar l’el.lipse, i modificar l’ubicació dels seus elements:  El.lipse  

Fixa't com la suma de distàncies és constant!

4. La circumferència

La circumferència és el lloc geomètric dels punts X(x,y) del pla que equidisten una distancia r (radi de la circumferència), d'un punt fix O(a,b), que és el centre de la circumferència.

Si X(x,y) és un punt qualsevol de la circumferència, es complix que la distància d(X,O) = r, on O(a,b) és el centre, llavors si apliquem la fórmula de la distancia entre dos punts tindrem la següent expressió:

Elevant al quadrat es simplifica i obtenim l’equació de la circumferència: 

( x – a )² + ( y – b )² = r²

Quand el centre és l’origen de coordenades O(0,0), s’obté l’equació reduïda: 

x² + y² = r²

Desenvolupant els quadrats i passant tots els termes al membre esquerre de l'equació, s'obté:

    [1]                         x² + y² - (2a)x – (2b)y + (a² + b² - r²)= 0

Per exemple, l’equació de la circumferència de centre O(-1,2) i radi 1 es:

( x + 1 )² + ( y – 2 )² = 1²

x² + y² + 2x - 4y + 4 = 0

Si tenim l’equació es pot calcular el centre i el radi. Per exemple, siga l’equació d’una circumferència:

x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0,   segons la fórmula de dalt [1]

2a = 4 ; a = 2

- 2b = 6 ; b = -3

En resum, el centre és O(2,-3) i el radi r = 2

3. La bisectriu

La bisectriu és un lloc geomètric. Divideix l’angle en dos parts iguals i compleix la propietat que tots els seus punts estan a la mateixa distància de les rectes que formen l’angle, és a dir, d(X,r) = d(X,s)

Però, en realitat, les dos rectes formen quatre angles, i casdascun d’ells té una bisectriu. Tots els punts de les dos bisectrius complixen la propietat d’equidistància a les rectes r i s. Per això, quan plantegem el problema hi hauran dos solucions.

La distància d’un punt P(x₀,y₀) a una recta r : Ax + By + C = 0 s’obté amb la fórmula:

Com hem dit, la distància d’un punt P(x,y) y dos rectes r:  A₁x + B₁y + C₁ = 0     i    s : A₂x + B₂y + C₂ = 0 

d(X,r) = d(X,s)

En resoldre el problema, els valors absoluts dels termes donaran dos expressions que serán les dos equacions de les bisectrius.

Per exemple, siguen el punt X  i les rectes r i s.

X (x,y);     r: 4x – 3y + 2= 0    i    s: 6x + 8y – 5 = 0

Igualem les distàncies:

d(X,r) = d(X,s)

Les separem i fem les operacions:

Per tant, les equacions  de les bisectrius són:

2x – 14y + 9 = 0     i     14x +2y – 1= 0

Exercici: Calcular les equacions de las bisectrius dels angles dels eixos de coordenades, l’eix X i l’eix Y.

2. La mediatriu

La mediatriu d’un segment és un lloc geomètric. Tots els punts de la mediatriu equidisten dels extrems A i B. No hi ha altre punt del pla, fora de la mediatriu que estiga a la mateixa distancia de A que de B, és a dir, d (A,X) = d (B,X). I açò ens proporciona un procediment per a calcular l'equació de la mediatriu.

L’equació de la distancia entre dos punts A(a1,a2) i B(b1,b2) és:

Per exemple , si volem calcular la mediatriu del segment AB, on A(2,3) i B(-1,5). Segons acabem de vore, com la distancia al punt  X(x,y) és la mateixa, és complix:

d (A,X) = d (B,X)

Aplicant la fórmula de la distància i substituint les coordenades dels punts X, A i B, obtenim l'expressió:

Elevem al quadrat en els dos membres de l'expressió, perquè desapareguen les arrels quadrades, i desenvolupem els quadrats que hi ha dins:

x² – 4x + 4 + y² - 6y + 9 = x²+ 2x + 1+ y² - 10y + 25

Passem tots els termes a la dreta de l'equació i ens queda:

0 = 6x – 4y + 13

Que és la equació de la mediatriu del segment AB

Exercici: Prova ara amb els punts A(3,0) y B(1,4). Sol: x - 2y + 4=0

1. Lloc Geomètric

És el conjunt  de punts del pla o del espai que complixen una determinada propietat  o condició geomètrica.

Per exemple, el lloc geomètric de tots el punts d’un pla, equidistants d’una recta l (del mateix pla), són dues rectes paral.leles a l. El mateix cas, en el espai, determinen un cilindre que tenen com a eix a la recta l. Això es pot vore en la següent figura.

A través d’aquesta propietat, emprant l’àlgebra, es pot trobar la seua equació. Normalment es relacionen els elements geomètrics amb les condicions  de perpendicularitat,  paral.lisme, o equidistància…

Per altra banda, en geometría analítica, lloc geomètric, significa determinar la corba, el cos o la superfície que genera una equació dada. A partir de  l’equació, donant valors, podem representar els punts dibuixant-los en una gràfica i, analitzant els resultats, obtenir la figura o el lloc geomètric determinat. Per exemple, realitzant una taula amb els valors de les funcions y = 3x + 8  i   y = x² – 1 poden vore que es tracta d’una recta i d’una parábola respectivament.

Les corbes còniques es poden prendre com a casos particulars de llocs geomètrics de punts que compleixen certes propietats. Però abans, anem a vore els casos de la mediatriu i la bisectriu.